FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

${\displaystyle E(x)=K\cdot a^{x}}$

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0, a ≠ 1. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen
La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita o bien como un límite de una sucesión. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\ldots }$

o como el límite de la sucesión:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}}$

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{1 \over t}\mathrm {d} t}$

Propiedades

La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

• ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$

• ${\displaystyle \exp(x-y)=\exp(x)/\exp(y)\,}$

• ${\displaystyle \exp(-x)={1 \over \exp(x)}}$

• ${\displaystyle \exp(0)=1\,}$

Derivada

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

Es decir, e^x es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
• La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
• La función es solución de la ecuación diferencial ${\displaystyle y'=y}$.²

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

${\displaystyle {d \over dx}a^{x}=a^{x}\cdot \ln(a)}$

donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto ${\displaystyle \textstyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$.

EJERCICIOS RESUELTOS

Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

f(x) = 2^x                           g(x) = 2 ^{- x} = (1/2)^x

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = Dom(g) = R .

2) Recorrido:

El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .

Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte:

f(0) = 2⁰ = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).

g(0) = - 2⁰ = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).

La funciones   f(x)   y   g(x)   no cortan al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La función   f(x)   es creciente ya que   a > 1 .

La función   g(x)   es decreciente ya que   0 < a < 1 .

5) Concavidad y convexidad:

Las funciones   f(x)   y   g(x)   son concavas.

6) Asíntotas:

Las funciones   f(x)   y   g(x)   tienen una asintota en el eje X.

7) Tabla de valores:

2. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

f(x) = e^x

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

Dom(f) = R .

2) Recorrido:

El recorrido de las funciones exponenciales es   (0, + ∞) .

Im(f) = (0, + ∞) .

3) Puntos de corte:

f(0) = e⁰ = 1  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 1).

La función   f(x)  no corta al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La función   f(x)   es creciente ya que   e > 1 .

5) Concavidad y convexidad:

Las función   f(x)   es concava.

6) Asíntotas:

Las función   f(x)   tiene una asintota en el eje X.

7) Tabla de valores:





3. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.

y = 2 + 3^x

1) Dominio:

El dominio de las funciones exponenciales es R.

2) Recorrido:

Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = 3^x, cuyo recorrido es (0 , ∞).

Por tanto su recorrido queda trasladado verticalmente en dos unidades:   (2, + ∞) .

3) Puntos de corte:

y = 2 + 3⁰ = 2 + 1 = 3  , el punto de corte con el eje Y es  (0, 3).

La función   no corta al eje X.

4) Crecimiento y decrecimiento:

La función es creciente ya que   a = 3 > 1 ( y = a^x ).

5) Concavidad y convexidad:

Es cóncava por ser una función exponencial.

6) Asíntotas:

Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = 3^x, cuya asíntota está en el eje X.

Por tanto la asíntota de nuestra función queda trasaladada verticalmente a la recta y = 2 .

7) Tabla de valores:

   



               










Url. de video de funciones exponenciales naturales

https://www.youtube.com/watch?v=YL-f8Jo-ASk 


Video ejemplo 1

 Video ejemplo 2