INTERES COMPUESTO

El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se han generado en un período determinado por un capital inicial (C_I) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición, de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Cálculo del interés compuesto

Para un período de tiempo determinado, el capital final (C_F) se calcula mediante la fórmula

${\displaystyle \ C_{F1}=C_{I}(1+r)}$

Ahora, capitalizando el valor obtenido en un segundo período

${\displaystyle \ C_{F2}=C_{F1}(1+r)=C_{I}(1+r)(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}}$

Repitiendo esto para un tercer período

${\displaystyle \ C_{F3}=C_{F2}(1+r)=C_{I}(1+r)^{2}\cdot (1+r)=C_{I}(1+r)^{3}}$

y generalizando a n los períodos, se obtiene la fórmula de interés compuesto:

${\displaystyle \ C_{F}=C_{I}(1+r)^{n}}$

Donde:

${\displaystyle \ C_{F}}$ es el capital al final del enésimo período

${\displaystyle \ C_{I}}$ es el capital inicial

${\displaystyle \ r}$ es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

${\displaystyle \ n}$ es el número de períodos

Para calcular la tasa de interés compuesto total se usa la fórmula:

${\displaystyle \ r_{T}=(1+r)^{n}-1}$

Donde:

${\displaystyle \ r_{T}}$ es la tasa de interés total expresada en tanto por uno (v.g., 1,85 = 185 %)

${\displaystyle \ r}$ es la tasa de interés expresada en tanto por uno (v.g., 4 % = 0,04)

${\displaystyle \ n}$ es el número de períodos

Para hacer cálculos continuos en el tiempo en lugar de calcular cantidades para finales de períodos puede usarse la tasa de interés instantánea ${\displaystyle \rho }$, así el capital final actualizado al tiempo t viene dado por:

${\displaystyle \ C_{F}(t)=e^{\rho t}}$

El resto de tasas pueden calcularse sin problemas a partir de la tasa de interés instantánea.

Obtención de los elementos de la fórmula de interés compuesto

De la ecuación del interés compuesto, para n períodos, se obtiene el capital inicial, conocidos el capital final, el interés y el número de períodos:

${\displaystyle \ C_{I}={\frac {C_{F}}{(1+r)^{n}}}}$

El número de períodos puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el interés, despejando n en la última fórmula, obteniéndose:

${\displaystyle \ n={\frac {\log(C_{F}/C_{I})}{\log(1+r)}}}$

El interés puede calcularse, conocidos los capitales inicial y final y el número de períodos, despejándolo de esa misma fórmula:

${\displaystyle r=\left({\frac {C_{F}}{C_{I}}}\right)^{\frac {1}{n}}-1={\sqrt[{n}]{\frac {C_{F}}{C_{I}}}}-1}$,

  Problemas de Interés Compuesto Formulas de Interés Compuesto:
M = C (1 + i)n
C = M (1 + i)-n
M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo

Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.

i = 0,15 efectiva trimestral
n = 10 años
M = 20.000
C =?
C = 20.000 (1+ 0.15)-10(4) 4
C =4.586,75 Respuesta

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?
n =?
C = 2.000
i = 0,03
M =7.500
7.500 = 2.000 (1 +0,03)n
ln 15/4 = n ln 1,03
n = 44,71 años
44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.1 año

Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:
a. al 5% efectivo anual
M = 100 (1 + 0,05)10 = 162,89 Respuesta
b. al 5% capitalizable mensualmente
M = 100 (1 + 0,05)10(12) =164,20 Respuesta
12
c. al 5% capitalizable trimestralmente
M = 100 (1 + 0,05)10(4) =164,36 Respuesta
4

1. 
   
2. 30.000(1-0.09 * 153)=28.852,5
3. al 5% capitalizable semestralmente

M = 100 (1 + 0,05)10(2) =164,86 Respuesta 2

Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.

VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta

¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente?
(1+ 0,08)4/2 = (1 + n.c.s)2/2
4 2
i =0,0808 è 8,08% Respuesta
Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años.

12.500 = 10.000 (1 +i )10
2
i =0,0451 è 4,51% Respuesta

¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?
10.000=6.000 (1+ 0,08)n
n = 13,024 /2
n = 6,512 años Respuesta

¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?
M =2
C = 1
2=1(1+ i) 10
i = 7,17% sociedad maderera

M = 1(1+0,06)
4
M =1,8140 no duplico
Respuesta es más conveniente la sociedad maderera
Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido.
C = 120.000(1 + 0,08)-3
C = 95.259,87 Respuesta
Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible mensualmente.
VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respuesta
VF = 20.000(1 + 0,05) 120 = 32.940,19 convertible mensualmente Resp. 12



Url. videoInteres Compuesto
https://www.youtube.com/watch?v=D53P8NDjlqM